График двоичного логарифма

Логарифмы по основаниям 2, 10 и e

Двоичный логарифм — логарифм по основанию 2. Другими словами, двоичный логарифм числа bdisplaystyle b есть решение уравнения 2x=b.displaystyle 2^x=b.

Двоичный логарифм числа bdisplaystyle b существует, если b>0.displaystyle b>0. Он обозначается lb⁡bdisplaystyle operatorname lb b (согласно ISO 31-11), lb⁡(b)displaystyle operatorname lb (b) или log2⁡bdisplaystyle log _2b. Примеры:

lb⁡1=0;lb⁡2=1;lb⁡16=4displaystyle operatorname lb 1=0;,operatorname lb 2=1;,operatorname lb 16=4

lb⁡0,5=−1;lb⁡1256=−8displaystyle operatorname lb 0,5=-1;,operatorname lb frac 1256=-8

Алгебраические свойства |

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

	Формула	Пример
Произведение	lb⁡(xy)=lb⁡(x)+lb⁡(y)displaystyle operatorname lb (xy)=operatorname lb (x)+operatorname lb (y)	lb⁡(256)=lb⁡(16⋅16)=lb⁡(16)+lb⁡(16)=4+4=8displaystyle operatorname lb (256)=operatorname lb (16cdot 16)=operatorname lb (16)+operatorname lb (16)=4+4=8
Частное от деления	lb(xy)=lb⁡(x)−lb⁡(y)displaystyle operatorname lb !left(frac xyright)=operatorname lb (x)-operatorname lb (y)	lb⁡(132)=lb⁡(1)−lb⁡(32)=0−5=−5displaystyle operatorname lb left(frac 132right)=operatorname lb (1)-operatorname lb (32)=0-5=-5
Степень	lb⁡(xp)=plb⁡(x)displaystyle operatorname lb (x^p)=poperatorname lb (x)	lb⁡(1024)=lb⁡(210)=10lb⁡(2)=10displaystyle operatorname lb (1024)=operatorname lb (2^10)=10operatorname lb (2)=10
Корень	lb⁡xp=lb⁡(x)pdisplaystyle operatorname lb sqrt[p]x=frac operatorname lb (x)p	lb⁡8=12lb⁡8=32=1,5displaystyle operatorname lb sqrt 8=frac 12operatorname lb 8=frac 32=1,5

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lb⁡|xy|=lb⁡(|x|)+lb⁡(|y|),xy

lb|xy|=lb⁡(|x|)−lb⁡(|y|),x

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lb⁡(x1x2…xn)=lb⁡(x1)+lb⁡(x2)+⋯+lb⁡(xn)displaystyle operatorname lb (x_1x_2dots x_n)=operatorname lb (x_1)+operatorname lb (x_2)+dots +operatorname lb (x_n)

Связь двоичного, натурального и десятичного логарифмов:

lb⁡x≈1,442695ln⁡xdisplaystyle operatorname lb xapprox 1,442695ln x

lb⁡x≈3,321928lg⁡xdisplaystyle operatorname lb xapprox 3,321928lg x

Функция двоичного логарифма |

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию двоичного логарифма: y=lb⁡xdisplaystyle y=operatorname lb x. Она определена при всех x>0displaystyle x>0. Область значений: E(y)=(−∞;+∞)displaystyle E(y)=(-infty ;+infty ). График этой кривой часто называется логарифмикой^[2].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

ddxlb⁡x=lb⁡exdisplaystyle frac ddxoperatorname lb x=frac operatorname lb ex

Ось ординат (x=0)displaystyle (x=0) является вертикальной асимптотой, поскольку:

limx→0+0lb⁡x=−∞displaystyle lim _xto 0+0operatorname lb x=-infty

Применение |

Теория информации |

Двоичный логарифм натурального числа Ndisplaystyle N позволяет определить число цифр b(N)displaystyle b(N) во внутреннем компьютерном (битовом) представлении этого числа:

b(N)=⌊lb⁡N⌋+1displaystyle b(N)=lfloor operatorname lb Nrfloor +1 (скобки обозначают целую часть числа)

Информационная энтропия — мера количества информации, также основана на двоичном логарифме

Сложность рекурсивных алгоритмов |

Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»^[3] — таких, как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье, двоичный поиск и т. п.

Другие применения |

Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований.

В теории музыки, чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для log2⁡32≈0,585.displaystyle log _2frac 32approx 0,585. Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов^[4].

См. также |

• Бит


• Десятичный логарифм


• Натуральный логарифм

Литература |

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.


• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.


• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

Ссылки |

• Таблица двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100.

Примечания |