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Tracé de lb n, la fonction logarithme de base 2.

En mathématiques, le logarithme binaire (log₂ n) est le logarithme de base 2. C’est la fonction réciproque de la fonction puissance de deux : x ↦ 2^x. Le logarithme binaire de x est la puissance à laquelle le nombre 2 doit être élevé pour obtenir la valeur x, soit : lb(x)=a⇔x=2adisplaystyle lb(x)=aLeftrightarrow x=2^a.

Ainsi, le logarithme binaire de 1 est 0, le logarithme binaire de 2 est 1, le logarithme binaire de 4 est 2, le logarithme binaire de 8 est 3.

On le notait^[Quand ?]ld () (pour logarithmus dualis), mais la norme ISO 80000-2^[1] indique que log₂(x) devrait être symbolisé par lb (x).

Musique |

En musique, le logarithme binaire intervient dans la formule permettant de déterminer la valeur en cents d’un intervalle. Un cent, ou centième de demi-ton au tempérament égal, vaut 1200 fois le logarithme binaire du rapport de fréquence des sons concernés.

Informatique |

En informatique, l'orientation binaire du matériel fait souvent du logarithme binaire le plus facile à calculer et le plus précis, les autres en étant dérivés.

En effet, soit (e; m) la représentation virgule flottante binaire d'un nombre réel non nul x, où e est un entier porteur de l'ordre de grandeur, et m un significande tel que 1 ≤ |m| < 2. Alors, si m>0 :

x = m×2^e entraîne lb(x) = e+lb(m).

et le calcul de lb(x) se ramène ainsi au domaine [1, 2[.

Par exemple, 10 = 2³ × 1,25, lb(10)= 3 + lb(1,25).

où lb(1,25) est la partie fractionnaire du logarithme cherché.

Chaque bit de lb(1,25) peut se calculer directement bit à bit à l'aide des relations :

lb(1) = 0 ; lb(x) = lb(x²)/2 ; lb(x)= lb(x/2)+1.

Quand on cherche un nouveau bit de x (0< x < 2) :

• on élève x au carré
  
  • si x vaut au moins 2, on note 1, on divise x par 2 et on poursuit ;
  
  
  • sinon, on note 0 et on poursuit^[2].
  
  

Ainsi

lb(10) = 11₂+lb(1,25)= 11₂+lb(1,5625)/2

= 11,0₂+lb(2,44140625)/4 = 11,01₂+lb(1,220703125)/4

= 11,01₂+lb(1,490116119)/8 = 11,010₂+lb(2,220446049)/16

= 11,0101₂+lb(1,110223025)/16 = 11,01010₂+lb(1,232611)/32 = 11,010100₂+lb(1,519330)/64 = 11,010100₂+lb(2,308)/128.....

Or 11,0101001₂ = 3,3203125, et on a déjà 2 ^3,3203125 = 9,9888...

Remarque |

lb(10) = 3,32... entraîne que le codage binaire d'un entier décimal occupera au moins 3,32 bits par chiffre décimal, soit 4 bits pour un chiffre, 7 bits pour 2 chiffres et 10 bits pour 3 chiffres (ou tranche de 3 chiffres).

Référence |

Voir aussi |

• 
  Logarithme, symbole normalisé log


• 
  Logarithme naturel (base e), symbole normalisé ln


• 
  Logarithme décimal (base 10), symbole normalisé lg


• Virgule flottante

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