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수론에서, 약수(約數, 영어: divisor) 또는 인수(因數, 영어: factor)는 어떤 수로 정수가 나누어떨어지는것을 대하여 이르는 말이다. 다항식의 약수나 가환환의 원소의 약수를 정의할 수도 있다.

정의

두 정수 adisplaystyle a, bdisplaystyle b에 대하여 b=acdisplaystyle b=ac를 만족하는 정수 cdisplaystyle c가 존재한다면, adisplaystyle a를 bdisplaystyle b의 약수라고 하며, 이를 a∣bdisplaystyle amid b와 같이 표기한다.

모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 ndisplaystyle n에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

• ±1∣ndisplaystyle pm 1mid n


• ±n∣ndisplaystyle pm nmid n


• n∣0displaystyle nmid 0


• 0∣n⟺n=0displaystyle 0mid niff n=0

정수 ndisplaystyle n의 약수 가운데 1, -1, ndisplaystyle n, −ndisplaystyle -n을 ndisplaystyle n의 자명 약수(영어: trivial divisor)라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 고유 약수(영어: non-trivial divisor)라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 진약수(영어: proper divisor)라고 한다.

예

• 12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는 음수일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.


• 7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.
  
  • 7은 42의 약수/인수이다.
  
  
  • 42는 7의 배수이다.
  
  
  • 7은 42를 나눈다/완제한다.
  
  
  • 42는 7로 나누어떨어진다.
  
  


• 6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 그리고 고유 약수는 ±2, ±3이고 진약수는 1, 2, 3이다.


• 42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.


• 0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상 n×0=0displaystyle ntimes 0=0이기 때문이다.


• 60의 모든 양의 약수의 집합 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60displaystyle 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60은 약수 관계에 따라 부분 순서 집합을 이루며, 다음과 같은 하세 도형을 가진다.

성질

어떤 수의 배수는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. 약수 관계는 정수 집합 위의 원순서다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수 a,b,cdisplaystyle a,b,c에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• a∣adisplaystyle amid a


• a∣b∣c⟹a∣cdisplaystyle amid bmid cimplies amid c


• a∣b∣a⟺a=±bdisplaystyle amid bmid aiff a=pm b


• a∣b,c⟹a∣(b±c)displaystyle amid b,cimplies amid (bpm c)

2를 약수로 갖는 정수를 짝수, 그렇지 않은 정수를 홀수라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다). 두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수라고 한다. 두 정수 a,bdisplaystyle a,b의 최대 공약수를 gcda,bdisplaystyle gcda,b라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 서로소라고 한다. 즉 두 정수 a,bdisplaystyle a,b가 gcda,b=1displaystyle gcda,b=1을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를 소수라고 한다. 소수의 집합을 Pdisplaystyle mathbb P 라고 표기하자. 이는 정수의 집합 Zdisplaystyle mathbb Z 의 부분 집합이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.

• 
  a∣bcdisplaystyle amid bc이며, gcda,b=1displaystyle gcda,b=1이면, a∣cdisplaystyle amid c
  


• (유클리드의 보조정리) p∈Pdisplaystyle pin mathbb P 이며 p∣abdisplaystyle pmid ab이면, p∣adisplaystyle pmid a이거나 p∣bdisplaystyle pmid b
  

진약수의 합이 자기 자신인 정수를 완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 부족수라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 과잉수라고 한다.

각 정수 ndisplaystyle n에 양의 약수의 개수 d(n)displaystyle d(n)을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합 σ(n)displaystyle sigma (n)을 대응시키는 함수는 약수 함수의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.

• 
  d(n)displaystyle d(n)은 곱셈적 함수이다. 즉, 모든 서로소 정수 n,mdisplaystyle n,m에 대하여, d(nm)=d(n)d(m)displaystyle d(nm)=d(n)d(m)이다.
  
  • 예를 들어, d(42)=8=2×2×2=d(2)d(3)d(7)displaystyle d(42)=8=2times 2times 2=d(2)d(3)d(7).


• 그러나 d(n)displaystyle d(n)은 완전 곱셈적 함수가 아니다. 즉, 모든 정수 n,mdisplaystyle n,m에 대하여 d(nm)=d(n)d(m)displaystyle d(nm)=d(n)d(m)이지는 않다. 사실, 두 정수 n,mdisplaystyle n,m가 1보다 큰 공약수를 가진다면, d(nm)<d(n)d(m)displaystyle d(nm)<d(n)d(m)이다.
  
  • 예를 들어, d(12)=6<2×4=d(2)d(6)displaystyle d(12)=6<2times 4=d(2)d(6).


• 
  σ(n)displaystyle sigma (n) 역시 곱셈적 함수이다.
  
  • 예를 들어, σ(42)=96=3×4×8=σ(2)σ(3)σ(7)displaystyle sigma (42)=96=3times 4times 8=sigma (2)sigma (3)sigma (7)
    


• 정수 ndisplaystyle n의 소인수 분해가
  

  n=p1ν1p2ν2⋯pkνkdisplaystyle n=p_1^nu _1p_2^nu _2cdots p_k^nu _k

와 같다면, ndisplaystyle n의 모든 양의 약수의 집합은

μi∈Z,0≤μi≤νidisplaystyle leftp_1^mu _1p_2^mu _2cdots p_k^mu _k

이며, 이에 따라 ndisplaystyle n의 모든 양의 약수의 개수는

d(n)=(ν1+1)(ν2+1)⋯(νn+1)displaystyle d(n)=(nu _1+1)(nu _2+1)cdots (nu _n+1)

이다.

• 임의의 정수 ndisplaystyle n에 대하여, d(n)<2ndisplaystyle d(n)<2sqrt n이다.


• 
  d(1)+d(2)+⋯+d(n)=nln⁡n+(2γ−1)n+O(n)displaystyle d(1)+d(2)+cdots +d(n)=nln n+(2gamma -1)n+O(sqrt n). 여기서 γdisplaystyle gamma 는 오일러-마스케로니 상수이다.

관련 개념

임의의 환의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환 Z[x]displaystyle mathbb Z [x]에서,

x2−1=(x+1)(x−1)displaystyle x^2-1=(x+1)(x-1)

이므로,

x+1∣x2−1displaystyle x+1mid x^2-1

이다.

같이 보기

• 배수


• 최대공약수