정수 목차 정의 성질 관련 개념 외부 링크 둘러보기 메뉴정수“Integer”“Integer”“Integer”eh4134668-300570428
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정수
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다른 뜻에 대해서는 정수 (동음이의) 문서를 참조하십시오.정수환은 여기로 연결됩니다. 대수적 수체의 부분환에 대해서는 대수적 정수환 문서를 참조하십시오.
정수들의 집합은 순서에 따라 직선 위에 나타낼 수 있다. 직선위는 0을 기준으로 오른쪽은 양수, 왼쪽은 음수로 구분할 수 있다.
수학에서, 정수(整數, 문화어: 옹근수)는 양의 정수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... , n) 및 음의 정수(-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...) 및 0으로 이루어진 수 체계이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수 전체의 집합의 기호는 Zdisplaystyle mathbb Z 이다.
목차
1 정의
2 성질
2.1 대수적 성질
3 관련 개념
4 외부 링크
정의
정수 체계는 (0을 포함하는) 자연수 체계 Ndisplaystyle mathbb N 으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 N×Ndisplaystyle mathbb N times mathbb N 위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 동치 관계를 주자.
- (m,n)∼(m+k,n+k)∀k∈Ndisplaystyle (m,n)sim (m+k,n+k)forall kin mathbb N
이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 Z=(N×N)/∼displaystyle mathbb Z =(mathbb N times mathbb N )/sim 라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.
- [(m,n)]∼+[(p,q)]∼=[(m+p,n+q)]∼displaystyle [(m,n)]_sim +[(p,q)]_sim =[(m+p,n+q)]_sim
- [(m,n)]∼⋅[(p,q)]∼=[(mp+nq,mq+np)]∼displaystyle [(m,n)]_sim cdot [(p,q)]_sim =[(mp+nq,mq+np)]_sim
![displaystyle [(m,n)]_sim +[(p,q)]_sim =[(m+p,n+q)]_sim](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9277964713620f05def1b802572d210ed090ee35)
![displaystyle [(m,n)]_sim cdot [(p,q)]_sim =[(mp+nq,mq+np)]_sim](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707c8d992213cf46f7ff45080040ddd75969976a)
그렇다면 정수의 집합 Zdisplaystyle mathbb Z 는 환을 이루며, 이를 정수환(整數環, 영어: ring of integers)이라고 한다.이러한 구성 방법은 일반적으로 모노이드에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로텐디크 군의 한 형태이다.
성질
대수적 성질
자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.
| | | 덧셈+displaystyle + | 곱셈×displaystyle times |
닫힘: | a + b 은 정수 | a × b 은 정수 |
결합법칙: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
교환법칙: | a + b = b + a | a × b = b × a |
항등원: | a + 0 = a | a × 1 = a |
역원: | a + (−a) = 0 | -------- |
분배법칙: | (a × b) + (a × c)=a × (b + c) | |
관련 개념
유리수와 정수의 관계는 대수적 수와 대수적 정수의 관계까지 일반화될 수 있다.
외부 링크
 | 위키미디어 공용에 관련된 미디어 분류가 있습니다. 정수 |
“Integer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Integer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Integer”. 《nLab》 (영어).
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