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정수 목차 정의 성질 관련 개념 외부 링크 둘러보기 메뉴정수“Integer”“Integer”“Integer”eh4134668-300570428

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정수




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정수들의 집합은 순서에 따라 직선 위에 나타낼 수 있다. 직선위는 0을 기준으로 오른쪽은 양수, 왼쪽은 음수로 구분할 수 있다.


수학에서, 정수(整數, 문화어: 옹근수)는 양의 정수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... , n) 및 음의 정수(-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...) 및 0으로 이루어진 수 체계이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수 전체의 집합의 기호는 Zdisplaystyle mathbb Z 이다.




목차





  • 1 정의


  • 2 성질

    • 2.1 대수적 성질



  • 3 관련 개념


  • 4 외부 링크




정의


정수 체계는 (0을 포함하는) 자연수 체계 Ndisplaystyle mathbb N 으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 N×Ndisplaystyle mathbb N times mathbb N 위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 동치 관계를 주자.


(m,n)∼(m+k,n+k)∀k∈Ndisplaystyle (m,n)sim (m+k,n+k)forall kin mathbb N

이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 Z=(N×N)/∼displaystyle mathbb Z =(mathbb N times mathbb N )/sim 라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.


[(m,n)]∼+[(p,q)]∼=[(m+p,n+q)]∼displaystyle [(m,n)]_sim +[(p,q)]_sim =[(m+p,n+q)]_sim

[(m,n)]∼⋅[(p,q)]∼=[(mp+nq,mq+np)]∼displaystyle [(m,n)]_sim cdot [(p,q)]_sim =[(mp+nq,mq+np)]_sim

그렇다면 정수의 집합 Zdisplaystyle mathbb Z 는 환을 이루며, 이를 정수환(整數環, 영어: ring of integers)이라고 한다.이러한 구성 방법은 일반적으로 모노이드에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로텐디크 군의 한 형태이다.



성질



대수적 성질


자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.






















|
덧셈+displaystyle +곱셈×displaystyle times

닫힘:

a + b  은 정수

a × b  은 정수

결합법칙:

a + (b + c)  =  (a + b) + c

a × (b × c)  =  (a × b) × c

교환법칙:

a + b  =  b + a

a × b  =  b × a

항등원:

a + 0  =  a

a × 1  =  a

역원:

a + (−a)  =  0
--------

분배법칙:
  (a × b) + (a × c)=a × (b + c)  


관련 개념


유리수와 정수의 관계는 대수적 수와 대수적 정수의 관계까지 일반화될 수 있다.



외부 링크





  • “Integer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 


  • Weisstein, Eric Wolfgang. “Integer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 


  • “Integer”. 《nLab》 (영어). 



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